2020高考数学大一轮复*第八章解析几何课下层级训练44直线与圆圆与圆的位置关系含解析文新人教A

发布于:2021-11-27 18:00:00

课下层级训练(四十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系

[A 级 基础强化训练] 1.已知点(a,b)在圆 C:x2+y2=r2(r≠0)的外部,则 ax+by=r2 与 C 的位置关系是( )

A.相切

B.相离

C.内含

D.相交

D

[由已知 a2+b2>r2,且圆心到直线 ax+by=r2 的距离为 d=

r2 a2+b2,则

d<r,故直线

ax+by=r2 与 C 的位置关系是相交.]

2.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y-4=0 相切,则圆 O 的方程

为( )

A.x2+y2=4

B.x2+y2=3

C.x2+y2=2

D.x2+y2=1

A [依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y-4=0 的距离,即 r= 4 =2, 1+3

得圆 O 的方程为 x2+y2=4.]

3.(2019·福建福州模拟)过点 P(1,-2)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分

别为 A,B,则 AB 所在直线的方程为( )

A.y=-

3 4

B.y=-12

C.y=-

3 2

D.y=-14

B [圆(x-1)2+y2=1 的圆心为(1,0),半径为 1,以|PC|= - 2+ -2- 2= 2 为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y

+1=0,即 y=-12.] 4.(2019· 辽宁葫芦岛月考)过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得

的弦长为( )

A. 3

B.2

C. 6

D.2 3

D [过原点且倾斜角为 60°的直线方程为 3x-y=0,圆 x2+(y-2)2=4 的圆心(0,2)

到直线

3x-y=0 的距离为 d=|

3×0-2| =1,因此弦长为 2

R2-d2=2

4-1=2

3.]

3+1

5.(2019· 河北邯郸模拟)由直线 y=x+1 上的一点向圆 x2-6x+y2+8=0 引切线,则

切线长的最小值为( )

A.1

B.2 2

C. 7

D.3

C [切线长的最小值在直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线

的距离为 d=|3-0+1|=2 2,圆的半径为 1,故切线长的最小值为 d2-r2= 8-1= 7.] 2

6.已知圆 C:(x- 3)2+(y-1)2=1 和两点 A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆 C 上存在 点 P,使得∠APB=90°,则实数 t 的最小值为__________.
1 [由∠APB=90°得,点 P 在圆 x2+y2=t2 上,因此由两圆有交点得|t-1|≤|OC|≤t +1? |t-1|≤2≤t+1? 1≤t≤3,即 t 的最小值为 1.]
7.圆 x2+y2=50 与圆 x2+y2-12x-6y+40=0 的公共弦的长度为________.

2 5 [两圆的公共弦长即两圆交点间的距离,将两圆方程联立,可求得弦所在直线为 2x+y-15=0,原点到该直线的距离为 d=|-221+5|1=3 5,则公共弦的长度为 2 r2-d2=

2 50- 5 2=2 5.] 8.点 P 在圆 C1:x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x2+y2+4x+2y+1=0 上,
则|PQ|的最小值是__________. 3 5-5 [把圆 C1、圆 C2 的方程都化成标准形式,得 (x-4)2+(y-2)2=9,(x+2)2+(y+1)2=4.圆 C1 的圆心坐标是(4,2),半径是 3;圆
C2 的圆心坐标是(-2,-1),半径是 2.圆心距 d= + 2+ + 2=3 5. 所以|PQ| 的最小值是 3 5-5.]
9.已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,求圆 C 的方程.
解 设点 P 关于直线 y=x+1 的对称点为 C(m,n),

??1+n -2+m 2 = 2 +1,
则由???nm- +12·1=-1

??m=0, ? ???n=-1.

故圆心 C 到直线 3x+4y-11=0 的距离 d=|-4-11|=3,
9+16 所以圆 C 的半径的*方 r2=d2+|A4B|2=18. 故圆 C 的方程为 x2+(y+1)2=18. 10.已知圆 C 经过点 A(2,-1),和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=-2x 上.

(1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 l 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程. 解 (1)设圆心的坐标为 C(a,-2a), 则 a- 2+ -2a+ 2=|a-2a-1|.
2 化简,得 a2-2a+1=0,解得 a=1.

∴C(1,-2),半径 r=|AC|= - 2+ -2+ 2

= 2. ∴圆 C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=0,此时直线 l 被圆 C 截得的弦长

为 2,满足条件. ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx,由题意得|k+2|=1,解得 k= 1+k2

-34,

∴直线 l 的方程为 y=-34x,即 3x+4y=0.

综上所述,直线 l 的方程为 x=0 或 3x+4y=0.

[B 级 能力提升训练] 11.(2019·河南信阳模拟)以(a,1)为圆心,且与两条直线 2x-y+4=0,2x-y-6=0

同时相切的圆的标准方程为( )

A.(x-1)2+(y-1)2=5

B.(x+1)2+(y+1)2=5

C.(x-1)2+y2=5

D.x2+(y-1)2=5

A [由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径.



|2a-1+4| 22+ - 2=

|2a-1-6| 22+ -

2,解得

a=1.

∴r=

|2×1-1+4| 22+ - 2=

5,

∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.]

12.已知点 P(a,b)(ab≠0)是圆 x2+y2=r2 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在的

直线,直线 l 的方程为 ax+by=r2,那么( )

A.m∥l,且 l 与圆相交

B.m⊥l,且 l 与圆相切

C.m∥l,且 l 与圆相离

D.m⊥l,且 l 与圆相离

C [∵点 P(a,b)(ab≠0)在圆内,∴a2+b2<r2.

∵圆 x2+y2=r2 的圆心为 O(0,0),故由题意得 OP⊥m,又 kOP=ba,∴km=-ab,∵直线 l 的斜率为 kl=-ab=km,圆心 O 到直线 l 的距离 d= ar2+2 b2>rr2=r,∴m∥l,l 与圆相离. ]
13.(2018·山东临沂模拟)已知直线 x+y-k=0(k>0)与 x2+y2=4 交于不同的两点 A、 B,O 为坐标原点,且|→OA+→OB|≥ 33|→AB|,则 k 的取值范围是__________.
[ 2,2 2) [由已知得圆心到直线的距离小于半径,即|k|<2,又 k>0,故 0<k< 2
2 2. ① 如图,作*行四边形 OACB,连接 OC 交 AB 于 M,

由|→OA+→OB|≥ 33|A→B|得|→OM|≥ 33|→BM|,即

∠MBO≥π6

,因为|OB|=2,所以|OM|≥1,故|k|≥1, 2

k≥ 2. ②

综合①②得, 2≤k<2 2.]

14.(2016·全国卷Ⅲ)已知直线 l:x- 3y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,则|CD|=__________.

4 [如图所示,∵直线 AB 的方程为 x- 3y+6=0,

∴kAB= 33,∴∠BPD=30°, 从而∠BDP=60°. 在 Rt△BOD 中, ∵|OB|=2 3,∴|OD|=2. 取 AB 的中点 H,连接 OH,则 OH⊥AB, ∴OH 为直角梯形 ABDC 的中位线,

∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4.] 15.(2019·山西大同月考)已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且圆心 C 在直线 x+y-1=0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A,B 且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,求 直线 l 的方程. 解 (1)∵P(4,-2),Q(-1,3),

∴线段 PQ 的中点 M???32, 21???,斜率 kPQ=-1, 则 PQ 的垂直*分线方程为 y-12=1×(x-32),

即 x-y-1=0.

解方程组?????xx- +yy- -11= =00, , 得?????xy==10,,

∴圆心 C(1,0),半径 r= - 2+ -2- 故圆 C 的方程为(x-1)2+y2=13.

2= 13.

(2)由 l∥PQ,设 l 的方程为 y=-x+m. 代入圆 C 的方程,得 2x2-2(m+1)x+m2-12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=m+1,x1x2=m22-6.

故 y1y2=(m-x1)(m-x2)=m2+x1x2-m(x1+x2), 依题意知 OA⊥OB,则→OA·→OB=0. ∴(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=0, 于是 m2+2x1x2-m(x1+x2)=0,即 m2-m-12=0. ∴m=4 或 m=-3,经检验,满足 Δ >0. 故直线 l 的方程为 y=-x+4 或 y=-x-3. 16.(2019·湖南东部六校联考)已知直线 l:4x+3y+10=0,半径为 2 的圆 C 与 l 相 切,圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方.

(1)求圆 C 的方程;

(2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A,B 两点(A 在 x 轴上方),问在 x 轴正半轴上是否存

在定点 N,使得 x 轴*分∠ANB?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

解 (1)设圆心 C(a,0)???a>-52???,则|4a+5 10|=2 ? a=0 或 a=-5(舍).

所以圆 C:x2+y2=4.

(2)当直线 AB⊥x 轴时,x 轴*分∠ANB.

当直线 AB 的斜率存在时,

设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),

由???x2+y2=4 ??y=k x-

得,(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,

所以 x1+x2=k22+k21,x1x2=kk22- +41.

若 x 轴*分∠ANB,则 kAN=-kBN? x1y-1 t+x2y-2 t=0? k

x1- x1-t

+k

x2- x2-t

-(t+1)(x1+x2)+2t=0?

k2-

2k2 t+

k2+1 - k2+1

+2t=0? t=4,

=0? 2x1x2

所以当点 N 为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM 总成立.


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