2.天津大学机械振动课件-单自由度系统的受迫

发布于:2021-09-18 15:37:07

第2章 单自由度系统的受迫振动

机械与结构振动

Mechanical and Structural Vibration

主讲 贾启芬

第2章单自由度系统的受迫振动

目录

2.1 简谐激励作用下的受迫振动 2.2 周期激励作用下的受迫振动 2.3 任意激励作用下的受迫振动 2.4 响应谱

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第2章单自由度系统的受迫振动

2.1 简谐激励作用下的受迫振动

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动

2.1.1 振动微分方程 2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论 2.1.3受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4受迫振动系统的能量关系 2.1.5等效粘性阻尼

2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动
-系统在外界激励下产生的振动。

激励形式
-外界激励一般为时间的函数,可以是周

期函数,也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性 激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的 叠加。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.1 振动微分方程

简谐激振力 FS ? F0 sin ?t F0为激振力的幅值,?为激振力的圆频 率。以*衡位置O为坐标原点,x轴铅 直向下为正,物块运动微分方程为
d2 x dx m 2 ? ?c ? kx ? F0 sin ?t dt dt
d2 x dx 2 ? 2n ? pn x ? h sin ?t dt dt2

2 pn ?

F k c ,n ? ,h ? 0 , 2 m m m

具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程,是二阶常系数线 性非齐次常微分方程。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.1 振动微分方程

简谐激励的响应-全解 有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程 d2 x dx 2 ? 2n ? pn x ? h sin ?t dt dt2

?x(0) ? x0和v(0) ? v0 ?

微分方程全解:齐次方程的解加非齐次方程的特解

?x(0) ? x0和v(0) ? v0 ?

d2 x dx 2 ? 2n ? pn x ? 0 dt dt2

齐次解: x1(t) 特解: x2(t)

?x(0) ? x0和v(0) ? v0 ?
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d2 x dx 2 ? 2n ? pn x ? h sin ?t dt dt2

有阻尼系统在简谐激励下,运动微分方程的全解 x ? x1 (t ) ? x2 (t )

2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.1 振动微分方程

有阻尼系统在简谐激励下,运动微分方程的全解

x ? x1 (t ) ? x2 (t )
x1 (t )-有阻尼自由振动运动 微分方程的解:
x1 ? Ae-?pn t sin ? pd t ? ? ?

x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随 时间衰减的稳态响应:
x2 (t )= Bsin

?ω t ? ψ ?

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.1 振动微分方程

?x(0) ? x0和v(0) ? v0 ?
B? h

d2 x dx 2 ? 2n ? pn x ? h sin ?t dt dt2

xP (t )=Bsin ??t ? ? ?

这表明:稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。
2 ( p n ? ? 2 ) 2 ? ( 2 n? ) 2

稳态受迫振动的振幅 ,

2nω tanψ ? 2 pn ? ω 2

滞后相位差

稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件 无关,仅仅取决于系统和激励的特性。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差

ψ 的讨论

B?

2 h / pn

n 2 ? 2 [1 ? ( ) ] ? 4( ) ( ) pn pn pn
2 2

?

?

B0 (1 ? ?2 ) 2 ? 4? 2 ?2

??

?
pn

,

ceq n ? ? ? pn 2meq pn
1
2 2

F0 h B0 ? 2 ? pn k eq
2

B ? ?= -振幅放大因子? B0

?1 ? ? ? ? ?2?? ?

2?? ? ? arctan 1 ? ?2

?-?曲线族-幅频特性曲线 ?-?曲线族-相频特性曲线
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差

ψ 的讨论

?-?曲线族-幅频特性曲线;?-?曲线族-相频特性曲线

在低频区和高频区,当 ? <<1时,由于阻尼影响不大 , 为了简化计算 ,可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差

ψ 的讨论

幅频特性与相频特性 1、? = 0 的附*区域 (低频区或弹性控制区) ,β ? 1 ?=0,响

应与激励同相;对于不同的? 值,曲线密集,阻尼影响不大。
2、? >>1的区域(高频区或惯性控制区), ? 0 , ? π ,响应与 ψ β 激励反相;阻尼影响也不大。 3、? =1的附*区域(共振区), ? 急剧增大并在 ?=1略为偏左 处有峰值。通常将?=1,即? = pn 称为共振频率。阻尼影响 显著且阻尼愈小,幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上, 无论阻尼大小, ?=1时,总有, ? = ?/2 ,这也是共振的重要 现象。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动 例 质量为M的电机安装在弹性基础上。 由于转子不均衡,产生偏心,偏心距为 e, 偏心质量为m。转子以匀角速?转动如图 示,试求电机的运动。弹性基础的作用相 当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时 受到粘性欠阻尼的作用,阻尼系数为c。

例题

解:取电机的*衡位置为坐标原点O,x 轴铅直向下为正。作用在电机上的力有 重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的

惯性力FIe、FIr,受力图如图所示。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动

例题

根据达朗贝尔原理,有
dx d2 x ?c ? Mg ? k ( x ? ? st ) ? M 2 ? me? 2 sin ?t ? 0 dt dt d2 x dx ?M 2 ? c ? kx ? ?me? 2 sin ?t dt dt
d2 x dx m 2 ? 2n ? pn x ? e? 2 sin(?t ? π) dt M dt2

k c m e? 2 = h p ? ,n ? 2 , M M M
2 n
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动

例题

电机作受迫振动的运动方程为 x ? B sin(?t ? π ? ? )
me ?2 ?2 B? ?b M (1 ? ? 2 ) 2 ? 4? 2 ? 2 (1 ? ? 2 ) 2 ? 4? 2 ? 2

? ? arctg

2?? 1 ? ?2
??

me b? M
?2
(1 ? ?2 ) 2 ? 4? 2 ?2

B ?? b

当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn

时,该振动系统产生共振,此时电机的转速称为临界转速。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动

例题

阻尼比? 较小时,在? = 1附*, ? 值急剧增大,发生共振。 由于激振力的幅值me?2与?2成正比。当?→0时,?≌0,B→0; 当?>>1时,?→1,B→b,即电机的角速度远远大于振动系统的 固有频率时,该系统受迫振动的振幅趋*于 me 。
M

幅频 特性 曲线 和相 频特 性曲 线
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动 在图示的系统中,物块受粘性欠

例题

阻尼作用,其阻尼系数为c,物块
的质量为m,弹簧的弹性常量为k。 设物块和支撑只沿铅直方向运动,
y( 且支撑的运动为t ) ? b sin ?t

,试求

物块的运动规律。
d2 x dx dy m 2 ? ?k ( x ? y ) ? c( ? ) 建立物块的运动微分方程 dt dt dt

?? ? ? mx ? cx ? kx ? cy ? ky
?? ? mx ? cx ? kx ? cb? cos?t ? kb sin ?t

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
d2 x dx dy m 2 ? ?k ( x ? y ) ? c( ? ) dt dt dt

例题

令 z ? x? y
d2 z dz d2 y m 2 ?c ? kz ? ?m 2 ? m? 2b sin ? t dt dt dt

y(t ) ? b sin ?t

其中 y = b sin ?t Z代替 x

me?

2

m? 2b
Z? m? 2 b ( k ? m? 2 ) 2 ? (c? ) 2
tan? ? c? k ? m? 2

z ? Z sin(? t ? ? )

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动

例题

z ? Z sin(? t ? ? )
x=z+y

Z?

m? 2 b ( k ? m? 2 ) 2 ? (c? ) 2

tan? ?

c? k ? m? 2

y ? Ye i? t
z ? Ze i (? t ?? ) ? ( Ze ?i? )e i? t

x ? Xe i (? t ?? ) ? ( Xe ?i? )e i? t
Ze
? i?

m? 2Y ? k ? m? 2 ? i? c

and

x ? ( Ze ?i? ? Y )e i? t ? (

k ? i? c )Ye i? t k ? m? 2 ? i? c

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动

例题

X ? Y

k 2 ? (? c) 2 2 2 2 ? (k ? m? ) ? (c? )

1 ? (2?? ) 2 (1 ? ?2 ) 2 ? (2?? ) 2

mc? 3 tan? ? k (k ? m? 2 ) ? (c? ) 2

2?? 3 ? ? arctan 1 ? ?2 ? 4? 2 ?2

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动

例题

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动

例题

一机器质量为450kg,支承在弹簧隔振器上,弹簧静变形为0.5cm。机器有

一偏心重,产生偏心激振力 F0

? 2.254

?2
g

N,其中

? 是激励频率,g是重力加
?? ? x F k x? 0 m m

速度。求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力;(2)机器的振幅。 解:设系统在*衡位置有位移x 有 mg ? k? st 机器的振幅为
k

?? mx ? kx ? F0



k?

mg

? st

2 又有 pn ? m ? ?

F0 ? 2 B? k 1? ?2 g
st

??

?
pn

? ? 40? rad s

得机器的振幅

B=0.584 mm

则传入地基的力为 FT ? kB ? 514.7 N

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* 题

写出图示系统的运动微分方程,并求系统固有频率、阻尼比 及稳态响应振幅。

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* 题 写出图示系统的运动微分方程,并求系统固有频率、阻尼比 及稳态响应振幅。 解:以刚杆转角 ? 为广义坐标, 由系统的动量矩定理
?? ? 4l 2 m? ? ?k (l? ? x s )l ? cl 2?
?? ?? c k ka ? ?? ? ? sin ? t 4m 4m l
ka ? 2l 4ml
2 p n (1 ?

pn ?

k 4m

2n ?

n c c ?? ? p n 8mp n 4m

h?
? 2a (1 ? ? ) ? (2?? )
2 2 2

ka 4ml
B? ?

??

?
pn
h

B ? B? 2l ?

?

pn

) 2 ? (2 2

2

n ? 2 ) pn pn

2 ( p n ? ? 2 ) 2 ? ( 2 n? ) 2

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* 题

已知 O1C = a sin? t,a = 0.02m,? =7rad/s,弹簧在0.4N作 用下伸长0.01m,物B质量mB = 0.4kg; 求 物B受迫振动的规律。

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* 题 解 选系统静*衡时A、B的位置为xA、xB的原点,如图(b)所处, 图中,弹簧力为 F ? k(x ? x )
K B A

k?

则物B的运动微分方程为 由此解出
xB ? ka k ? m B?
2

0.4 ? 40 N/m, x A ? a sin ? t 0.01

mB ??B ? kxB ? ka sin ? t x

sin ? t ? 39.22 sin 7t mm

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* 题 已知 质点A质量为m,弹簧刚性系数k和点D的干扰位移y = b sin? t,不计杠杆质量; 求 此结构受迫振动规律。

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* 题 解 在微幅振动条件下
?? ml 2? ? mgl? ? k (d? ? y)d

?? ml 2? ? (kd 2 ? mgl)? ? kdb sin ? t 展开即得振动微分方程

由此解出 ? ? 式中
?n ?

kdb ml
2 2 (? n

?? )
2

sin ? t

kd 2 ? mgl ml 2

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.3受迫振动系统力矢量的关系

已知简谐激振力 FS ? H sin ?t 稳态受迫振动的响应为 x ? B sin(?t ? ? )
dx d2 x ? B? cos(?t ? ? ), 2 ? ? B? 2 sin(?t ? ? ) dt dt

应用达朗贝尔原理,将弹簧质量系统写成 d2 x dx ?m 2 ?c ? kx ? H sin ?t ? 0 dt dt 惯性力 激振力 阻尼力 弹性力

kB 现将各力分别用 B、 、c?B、H、m? 2 B 的旋转矢量表示。
式不仅反映了各项力之间的相位关系,而且表示着一个力多边形。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.3受迫振动系统力矢量的关系

(a)力多边形

(b) ? <<1

(c) ? = 1

(d) ? >>1

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.4受迫振动系统的能量关系

从能量的观点分析,振动系统稳态受迫振动的实现,是 输入系统的能量和消耗的能量*衡的结果。现将讨论简谐 激振力作用下的系统,在稳态受迫振动中的能量关系。 受迫振动系统的稳态响应为

x ? B sin(?t ? ? )
1. 激振力 FS ? H sin ?t
WH ? ?0 FS ?
T

周期 T ?



?

T dx (t ) d t ? ?0 H sin ?t?B cos(?t ? ? ) d t dt

HB? T ?0 [sin(2?t ? ? ) ? sin ? ] d t ? π BH sin ? 2 在系统发生共振的情况下,相位差 ? ? π ,激振力在 2 一周期内做功为 WH ? π BH,做功最多。

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.4受迫振动系统的能量关系

对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差? ? 0 或 ? ? π 每一周期内激振力做功之和为零,形成稳态振动。 2. 粘性阻尼力 FR ? ?c
T

。因此,

dx 做的功 dt

T dx WR ? ? FR (t ) d t ? ? ? c? 2 B 2 cos(?t ? ? ) d t dt 0 0

? ?c? B
2

T 2

1 2 ? 2 [1 ? cos 2(?t ? ? )]d t ? ? π c?B 0

上式表明,在一个周期内,阻尼做负功。它消耗系统的能量。 而且做的负功和振幅B的*方成正比。由于受迫振动在共振 区内振幅较大,所以,粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地 控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量 而实现的。
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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.4受迫振动系统的能量关系

3. 弹性力 FE ? ? kx 做的功
dx WE ? ? FE (t ) d t ? ? ? Bk sin(?t ? ? )?B cos(?t ? ? ) d t dt 0 0
??
T

T

?kB2 T
2

? sin 2(?t ? ? ) d t ? 0
0

表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。

能量曲线

在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量

WH ? WR

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.5 等效粘性阻尼

在工程实际中,振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。 非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析,经 常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。 等效的原则是:粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘 性阻尼在一周期内消耗的能量。 假设在简谐激振力作用下,非粘性阻尼系统的稳态响应仍 然是简谐振动,即

x ? B sin(?t ? ? )
? 非粘性阻尼在一个周期内做的功 W N ? ? FN (t ) x d t

相等 粘性阻尼在一周期内消耗的能量 WR ? π c?B 2 等效粘性阻尼系数
WN ce ? π ?B 2

W N ? π ce?B
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2

2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.5 等效粘性阻尼

利用式

B?

h
2 ( pn ? ? 2 ) 2 ? (

c e? 2 ) m

2n ?

ce m

得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅
B? h c? ( p ? ? ) ? ( e )2 m
2 n 2 2

?

H (k ? m? 2 ) 2 ? (ce? ) 2

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.5 等效粘性阻尼

库仑阻尼 阻尼力表示为 Fc ? ?FN

4 Fc Ce ? π ?B

等效粘性 阻尼系数

一周期内库仑阻尼消耗的能量为 Wc ? 4 Fc B 相等
WR ? π c?B 2

Wc ? π ce?B 2

得到稳态振动的振幅表达式
B? H k

4 Fc 2 1? ( ) Hπ 1?

?2
2 pn

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.5 等效粘性阻尼

结构阻尼

? 等效粘性 ce ? ?? 阻尼系数
Wd ? ?X 2
Wc ? π ce?B 2

一周期内结构阻尼消耗的能量为

相等
WR ? π c?B 2

?ce?X 2 ? ?X 2

具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为
d2 x ? ? ? d x m 2 ?? ? kx ? F ?t ? ? dt ? ?? ? d t

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。 先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统 的运动微分方程和初始条件写在一起为
? d2 x m 2 ? kx ? F0 sin ?t ? ? dt x?0? ? x0 v(0) ? v0 ? ?

通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即
F0 1 x(t ) ? C1 cos p n t ? C 2 sin p n t ? sin ?t 2 k 1? ?

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为 无激励时的自由振动 伴随激励 而产生自 由振动, 称为自由 伴随振动
x(t ) ? x1 (t ) ? x2 (t ) ? x0 cos pn t ? v0 sin pn t pn

系统对初始 条件的响应

F0 ? F0 1 ? sin pn t ? sin ?t 2 2 k 1? ? k 1? ?

稳态强迫振动

特点是:振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身 的性质及激励因素都有关。 对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振 幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

共振时的情况 假设初始条件为
x(0) ? 0, v(0) ? 0,

F0 ? ? sin p n t ? sin ?p n t x(t ) ? k 1 ? ?2
由共振的定义, ? ? 1 时上式是 型,利用洛必达法则算出共振时的 响应为 F0 ? sin p n t ? p n t cos ?p n t F0 x(t ) ? lim ? (sin p n t ? p n t cos p n t ) ? ?1 k ? 2? 2k F0 ?? ( p n t ) 2 ? 1 cos? p n t ? ? ? 2k
? ? arctan
?1 pn t
0 0

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

可见,当时 ? ? pn ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间 后,共振响应可以表示为
x(t ) ? ? F0 F p π p n t cos p n t ? 0 n t sin( p n t ? ) 2k 2k 2

此即共振时的受迫振动.反映出共

振时的位移在相位上比激振力滞
后 π ,且振幅与时间成正比地增大
2
图 共振时的受迫振动

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2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

在简谐激励的作用下,有阻尼系统的 总响应由三部分组成 无激励时自由振动的初始条件响应,其振幅与激 励无关。 伴随激励而产生的自由振动-自由伴随振动,其 振幅不仅与系统特性有关,而且与激励有关。 以激励频率作简谐振动,其振幅不随时间衰减- 稳态受迫振动。
第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd; 由于阻尼的作用,这两部分的振幅都时间而衰减。
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第2章单自由度系统的受迫振动

2.2 周期激励作用下的受迫振动

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2.2 周期激励作用下的受迫振动
周期振动的谐波分析

周期振动

x(t ) ? x(t ? nT )

n=1,2,3,……

展成傅氏级数 一个周期 T 中的*均值
? a0 x (t ) ? ? ? (a n cos n? 1t ? bn sin n? 1t ) 2 n ?1

2π ?1 ? T

基频

? a0 x (t ) ? ? ? An sin(n? 1t ? ? n ) 2 n ?1

2 a 0 ? ? x(t ) d t T 0 T 2 a n ? ? x (t ) cos n? 1t d t T 0 T 2 bn ? ? x (t ) sin n? 1t d t T 0

T

n=1,2,3,……

2 2 An ? a n ? bn , ? n ? tan

an , bn

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2.2 周期激励作用下的受迫振动
周期振动的谐波分析

一个周期振动可视为频率顺次为基频 ? 1 及整倍数的若干或无数 简谐振动分量的合成振动过程。 在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析 周期函数的幅值频谱图,相位频谱图。

周期函数的谱线是互相分开的,故称为离散频谱。
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2.2 周期激励作用下的受迫振动
周期振动的谐波分析

函数的频谱,说明了组成该函数的简谐成分,反映了该

周期函数的特性。
这种分析振动的方法称为频谱分析。 由于自变量由时间改变为频率,所以频谱分析实际上是 由时间域转入频率域。 这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。

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2.2 周期激励作用下的受迫振动
周期振动的谐波分析

周期振动的谐波分析以无穷级数出现,但一般可以用有限项 *似表示周期振动。 例 已知一周期性矩形波如图所示,试对其作谐波分析。 解∶矩形波一个周期内函数F (t) 可表示为
? f0 F (t ) ? ? ?? f 0

0?t ?π π ? t ? 2π


1 a0 ? π

? F (t ) d t ? 0
0

表示F(t)的波形关于t轴对称,故其*均值为零。
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2.2 周期激励作用下的受迫振动
an ? 1? ? ? f 0 cos n? 1t d t ? π ?0
?
2?

?

2?

? ?

? f 0 cos n? 1t d t ? ? 0 ?

周期振动的谐波分析

1? bn ? ? ? f 0 sin n? 1t d t ? π ?0

? ?

? 2 f0 4f ?1 ? cos nπ ? ? 0 f 0 sin n? 1t d t ? ? nπ ? nπ

n=1,2,3……

于是,得F(t)的傅氏级数
F (t ) ? ? bn sin n?1t ?
n ?1 ?

4 f0

4f ? 1 1 1 ? sin n?1t ? 0 ? sin ?1t ? sin 3?1t ? sin 5?1t ? ?? ? ? n ?1.3.5... n ? ? 3 5 ?

?

F(t)是奇函数,在它的傅氏级 数中也只含正弦函数项。在实 际的振动计算中,根据精度要 求,级数均取有限项。F(t)的 幅值频谱如图所示。
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2.2 周期激励作用下的受迫振动 f ( t )的傅氏变换
G (? ) ?
??

非周期函数的连续频谱

??

?

f (t ) e ? j?t d t

f ( t )称为非周期函数
??

1 f (t ) ? 2π
G(? )的傅氏逆变换 G(? ) 又称非周期函数f

??

G (? ) e j?t d ? ?

连续频谱

( t )的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。
1 f (t ) ? 2π ? ? j ?t ? j? t ?????? f (t ) e d t ? e d ? ? ? ?
?? ??

函数f ( t )的傅氏积分公式

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2.2 周期激励作用下的受迫振动
非周期函数的连续频谱



试求图所示的单个矩形脉冲的频谱图形。

解: f ( t )可表示为
? ?0, ? ? f (t ) ? ? E , ? ?0, ? ? ?? ?t ? ? ?

?
2

?
2

?t?

?
2

?
2

? t ? ??

可求得频谱函数
?

f (t)的傅氏积分为
2E

G (? ) ?

?

?? E e
2

2

? j ?t

dt ?

?

sin

??
2

1 2E ?? j?t f (t ) ? ?? ? sin 2 e d ? 2π ?

??

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2.2 周期激励作用下的受迫振动 频谱图 ? ? 0
非周期函数的连续频谱

其振幅频谱
sin

??
2 ? E?

G (? ) ? 2 E

sin

??
2

?

??
2

傅氏积分和变换,是研究瞬态振动 与随机振动的重要工具。实际应用 时,可使用计算机运算或应用各种 快速傅氏分析仪器(FFT)。

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2.2 周期激励作用下的受迫振动 先对周期激励作谐波分析,将它分解为一系列不同频率的简 谐激励。然后,求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由 线性系统的叠加原理,将每个响应分别叠加,即得到系统对周 期激励的响应。 周期 设粘性阻尼系统受到周期激振力 F (t ) ? F (t ? T ) 谐波分析方法,得到
? a0 F (t ) ? ? ? (a n cos n? 1t ? bn sin n? 1t ) 2 n ?1

2π ?1 ? 基频 T

系统的运动微分方程为
? d2 x dx a0 m 2 ?c ? kx ? F (t ) ? ? ? (a n cos n? 1t ? bn sin n? 1t ) 2 n ?1 dt dt

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2.2 周期激励作用下的受迫振动 由叠加原理,并考虑欠阻尼情况,得到系统的稳态响应
? a0 x (t ) ? ? ? [ An cos(n? 1t ? ? n ) ? Bn sin(n? 1t ? ? n )] 2 k n ?1

a 1 ? An ? n ? k (1 ? ?2 ) 2 ? (2?? n ) 2 n ? ? bn 1 Bn ? ? k (1 ? ?2 ) 2 ? (2?? ) 2 ? n ? ?tan ? ? 2?? n n ? 1 ? ?2 n ? ?? ? n?1 ,p 2 ? k ,? ? c n ? n pn m 2mp n ?

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2.2 周期激励作用下的受迫振动 例 弹簧质量系统,受到周期性矩形波的激励。试求系 统的稳态响应。(其中 T ? 12 π ) p
n

解:周期性矩形波的基频为
2 π pn ?1 ? ? T 6

固有频率

矩形波一个周期内函数
? f0 F (t ) ? ? ?? f 0

0?t ?π π ? t ? 2π

将矩形波分解为

4 f0 F (t ) ? π

1 ?,.... n sin n?1t n ?1, 3

?

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2.2 周期激励作用下的受迫振动
将矩形波分解为
4f F (t ) ? 0 π 1 ?,.... n sin n?1t n ?1, 3
?

可得稳态响应
x (t ) ?
n ?1, 3,....

奇数

? Bn sin n?1t

?

4 f0 n?1 1 Bn ? , ?n ? 2 n π k (1 ? ?n ) pn

画出系统的响应频谱图 从频谱图中看,系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于 频率靠*系统固有频率的那些谐波分量,系统响应的振幅放大 因子比较大,在整个稳态响应中占主要成分。
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第2章单自由度系统的受迫振动

2.3 任意激励作用下的受迫振动

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2.3 任意激励作用下的受迫振动

2.3.1系统对冲量的响应
2.3.2系统对单位脉冲力的响应 2.3.3 单位脉冲响应函数的时-频变换 2.3.4 系统对任意激振力的响应 2.3.5 传递函数

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.1系统对冲量的响应

1. 用冲量描述瞬态作用 对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。 ? 设冲量的大小为 F 作用在单自由度系统中,求响应。 物块受到冲量的作用时,物块的位移可忽略不计。但物块的 速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论,可得物块受冲量作 ? 用获得的速度

F v? m

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.1系统对冲量的响应

如果取 t ? 0 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应

初位移 x0 ? 0

? F 初速度 v0 ? m

得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应 ? F v0 x? sin p n t x ? x0 cos pn t ? sin pnt mp n pn ? 如果 F 作用在 t ? ? 的时刻,未加冲量前,系统静止,则物块 的响应为 ? F x? sin p n (t ? ? ) mp n

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.1系统对冲量的响应

同理,如果在t = 0时,冲量作用在有粘性阻尼的物块上,对 欠阻尼的情形,得其响应
? F ? nt x? e sin p d t mp d

? 如果F 作用在 t ? ? 的时刻,则物块的响应为 ? F ?n (t ?? ) x? e sin p d (t ? ? ) mp d

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.2系统对单位脉冲力的响应

用单位脉冲(unit impulse)函数? (t)表示冲击力

函数的定义是

? ?0 t?? ? ?δ(t ? ? ) ? ? ? t?? ?? ? ? ? ? ?? δ(t ? ? ) d t ? 1 ?0

表明只在*旁极其短暂的时间内起作用,其数值为无限大。但 它对时间积分是有限数1。 从积分式可见,如果时间以秒计,? (t)函数的单位是1/s。
? 用? (t)函数表示作用在极短时间内冲击力 F ? F δ(t ? ? )

冲量

表示施加冲量的瞬时
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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.2系统对单位脉冲力的响应

如果在t = 0的瞬时施加冲量,则相应的冲击力

? F ? F (t ) δ(t )
? 当 F ? 1 ,即施加单位冲量时,冲击力为

F ? δ(t ? ? )
F是冲击力, ? (t)函数又称单位脉冲函数,就是由此而得名。 单位脉冲力作用于单自由度系统时,其振动微分方程为

m?? ? cx ? kx ? δ(t ) x ?
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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.2系统对单位脉冲力的响应

单位脉冲力作用于单自由度系统时,其振动微分方程为 d2 x dx m 2 ?c ? kx ? δ(t ) dt dt ? 单位脉冲力作用等价于冲量 F ? 1 作用在有粘性阻尼的物块上, 对欠阻尼的情形, ? nt
x(t ) ? Ae sin( pd t ? ? ) t ? 0, x(0) ? 0, v(0) ? 1 m

根据初始条件可确定A和?。最后得其响应
1 ? nt x(t ) ? e sin p d t mp d

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.2系统对单位脉冲力的响应

为了应用方便,单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单 自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应

1 h( t ) ? sin pn t mpn

1 h( t ? ? ) ? sin pn (t ? ? ) mpn

有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应
h(t ) ? 1 ? nt e sin pd t mpd

1 ?n (t ?? ) h(t ? ? ) ? e sin pd (t ? ? ) mpn

称为单自由度系统的时域响应函数

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.2系统对单位脉冲力的响应

h(t)有以下特性

? 1 ? nt e sin p d t , t ? 0 ? (1) h(t ) ? ? mp d ?0 t?0 ?
? 1 ?n (t ??) e sin p d (t ? ?), ? (2) h(t ? ?) ? ? mp d ?0 ? t?? t??

不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数,它实 质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲 冲量的响应,其量纲为[位移/冲量]。

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.4 系统对任意激振力的响应

作用有一任意激振力F(t)

d2 x dx ? kx ? F (t ) 欠阻尼情形物块的运动微分方程 m 2 ? c dt dt 将激振力看作是一系列元冲量的叠加

t ? ? 元冲量为
得到系统的响应

? F ? F (? ) d?

F (? ) d? ?n (t ?? ) dx? e sin pd (t ? ? ) mpd

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.4 系统对任意激振力的响应

得到系统的响应
F (? ) d? ?n (t ?? ) dx? e sin pd (t ? ? ) mpd

由线性系统的叠加原理,系统 对任意激振力的响应等于系统 在 0 ? ? ? t 时间区间内各个元 冲量的总和,即
x(t ) ? ? d x ? ?
0 t

F (? ) ?n (t ?? ) e sin pd (t ? ? ) d? 0 mp d
t

t ? t1

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.4 系统对任意激振力的响应

对无阻尼的振动系统,得到任意激振力的响应
F (? ) x(t ) ? ? sin pn (t ? ? ) d? 0 mp n
t

用单位脉冲函数响应表示,得到单自由度系统对任意激振力响 应的统一表达式

x(t ) ? ? F (? )h(t ? ? ) d ?
0

t

t ? t1

上式的积分形式称为卷积。因此,线性系统对任意激振力的响 应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定 理,也称杜哈梅(Duhamel)积分。

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.4 系统对任意激振力的响应

系统有初始位移和初始速度,则系统对任意激振力的响应为
x(t ) ? e ?nt ( x0 cos pd t ? nx0 ? v0 1 sin pd t ) ? pd mpd F (? ) e ?n (t ?? ) sin pd (t ? ? ) d? ?0
t

对于无阻尼振动系统的响应为
x(t ) ? x0 cos pnt ? v0 1 sin pnt ? pn mpn

t ? t1
t ? t1

?0 F (? ) sin pn (t ? ? ) d?

t

t > t1 即激振力停止作用后,物块的运动称为剩余运动。
dx 以 x(t1 )、 (t1 ) 为初始条件的运动 dt

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.4 系统对任意激振力的响应

例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用,试求其响应。 解:取开始加力的瞬时为t = 0,受阶跃函数载荷的图形 如图所示。设物块处于*衡位置,且 x0 ? v0 ? 0 。 代入 F0 ? F (? ) 积分后得响应为
F0 x (t ) ? (1 ? cos pn t ) k

在突加的常力作用下,物块的运动 仍是简谐运动,只是其振动中心沿 力F0的方向移动一距离 F0
k

也是弹簧产生的静变形。
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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.4 系统对任意激振力的响应

若阶跃力从t = a 开始作用,则系 统的响应为

F0 ? ?x ? mp n ? ?x ? 0 ?

F0 ?a sin pn (t ? ? )d? ? k [1 ? cos pn (t ? a)]
t

t?a

t< a

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.4 系统对任意激振力的响应



无阻尼弹簧质量系统,受到矩形脉冲力 F (t ) ? F0 ,0 ? t ? t1

作用,试求其响应。 解:在 0 ? t ? t1 阶段,系统的响应 显然与上例的相同,即
F0 x? (1 ? cos p n t ) k

当t> t1时,F ( t ) = 0,得
t1 t 1 x? [ ? F (? ) sin p n (t ? ? ) d ? ? ? F (? ) sin p n (t ? ? ) d ? ] t1 mp n 0 F0 1 t1 ? ?0 F0 sin pn (t ? ? ) d ? ? k [cos pn (t ? t1 ) ? cos pn t ] mp n

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.4 系统对任意激振力的响应

系统的响应为
? F0 ? k (1 ? cos p n t ) x(t ) ? ? F ? 0 [cos p n (t ? t1 ) ? cos p n t ] ?k

0 ? t ? t1

t> t1

? 实际上,在t> t1阶段,物块是以t = t1的位移x1和速度x1 为初 始条件作自由振动。因此,其响应也可用下面的方法求得。

将初始条件 ? x ? F0 (1 ? cos p t ) n ? 1
k ? F ? x1 ? 0 p n sin p n t ? k ?

x(t ) ? x1 cos pn (t ? t1 ) ?

v1 sin pn (t ? t1 ) pn

F0 ? [cos pn (t ? t1 ) ? cos pn t ] k
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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.5 传递函数

作为研究线性振动系统的工具,拉普拉斯(简称拉氏)变换方 法有广泛的用途。它是求解线性微分方程,特别是常系数的线 性微分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应 间的代数关系。 现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻 尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程
d2 x dx m 2 ?c ? kx ? f (t ) dt dt

其中f (t)表示任意的激振力。 对式两端各项作拉氏变换
?[ x(t ) ? ?0 e ? st x(t ) d t ? X ( s ) ?[
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? dx dx (t )] ? ?0 e ? st (t ) d t ? ? x0 ? sX ( s ) dt dt ?

2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.5 传递函数

对式两端各项作拉氏变换
2 ? ? st d x d2 x ?[ 2 (t )] ? ?0 e (t ) d t ? ?v0 ? sx0 ? s 2 X ( s ) dt dt2

?[ f (t )] ? ?0 e ? st f (t ) d t ? F ( s )

?

经整理得

(ms 2 ? cs ? k ) X ( s) ? F ( s)
X ( s) ? F ( s) ms 2 ? cs ? k

是系统的响应在拉氏域中的表达式

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
2.3.5 传递函数

F ( s) X ( s) ? ms 2 ? cs ? k

X ( s) 1 ? F ( s) ms 2 ? cs ? k

传递函数 G ( s) ?

1 ms 2 ? cs ? k

X ( s) ? G( s) F ( s)

X ( s) ? G( s) F ( s)

在拉氏域中,系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。

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第2章单自由度系统的受迫振动

2.4 响应谱

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2.4 响应谱
响应谱是系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励 的某一参数之间的关系曲线图。最大响应值可以是系统 的最大位移、最大加速度、最大应力或出现最大值的时 刻等;参数可以选择为系统的固有频率或激励的作用时 间等。响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示。 响应谱在工程实际中是很重要的,它揭示出最大值出现 的条件或时间等。如受迫振动的幅频特性曲线。当振动 系统已定,激振力的大小已定时,该曲线表示出受迫振 动的振幅和激振力频率的关系。振幅就是振动位移的最 大值,由曲线便能确定最大振幅出现时的激振力频率的 值。因此,幅频特性曲线就是一种响应谱。
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2.3 任意激励作用下的受迫振动
例题

系统基础有阶跃加速度 bu(t ) ,初始条件为 x(0) ? v(0) ? 0 ,求质 量m的相对位移。 解:由牛顿定律,可得系统的微分方程为
? ? m?? ? ?c( x ? x s ) ? k ( x ? x s ) x
? m??r ? cxr ? kxr ? ?mbu(t ) x

xr ? ( x ? x s )

系统的激振力为 F (? ) ? ?mbu(? ) 可得响应为
xr (t ) ? ? ?? ? mb ?n (t ?? ) e sin pd (t ? ? ) d? 0 mp d
t

p b ?nt n e [ 2 e n? sin pd (t ? ? ) ? 2 d 2 e n? cos pd (t ? ? )] t0 2 pd n ? pd n ? Pd

?b n e ? nt ? 2 (1 ? sin pd t ? e ? nt cos pd t ) 2 pd n ? pd

其中
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pd ?

p ?n
2 n

2

k p ? m
2 n

2n ?

c m

2.3 任意激励作用下的受迫振动
例题

上题中,若基础有阶跃位移,求零初始条件下的绝对位移。
? ? x 解:由上题可得系统的微分方程为 m?? ? ?c( x ? x s ) ? k ( x ? xs )

基础有阶跃位移

au(t )

m?? ? cx ? kx ? kau(t ) x ?
系统的激振力为
F (? ) ? kau(? )
mp d

可得响应为 x(t ) ? ?t k a e ? n (t ?? ) sin p d (t ? ? )d? 0
? p pd k a ? nt n 1 e e n? [ 2 d nt ? ( sin p d t ? 2 cos p d t )] 2 mp d n n 2 ? pd n e n

? a[1 ? e ??pnt (

? pn
pd

sin p d t ? cos p d t )]

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
例题

零初始条件的无阻尼系统受图的半正弦脉冲作用,若 ? ? t ? p n 1 求系统响应。 解:由图得激振力方程为
? F0 sin ? t ? F (t ) ? ? ?0 ?
当 0 < t < t1时,

?

0 ? t ? t1 t ? t2

F (? ) ? P0 sin ? t

P0 P 1 ? sin ? t sin pn (t ? ? ) d ? ? 0 (sin ? t ? sin pnt ) 0 mp k 1 ? ( ? )2 pn n pn 当 t > t1时, F (? ) ? 0 ? t1 P P pn 0 x(t ) ? ? sin ? t sin p n (t ? ? )d? ? 0 ? 0 [sin p n (t1 ? t ) ? sin p n t ] 0 mp ? k n 1 ? ( )2 pn x(t ) ? ?
t

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2.3 任意激励作用下的受迫振动
例题

无阻尼系统的支承运动加速度如图,求零初始条件下系统的相对位移。 解:系统运动的微分方程为

m??r ? kxr ? ?m??s x x
支承运动加速度方程为

xr ? x ? xs

m?? ? ?k ( x ? x s ) x
0 ? t ? t1 t ? t1

? t ?b ??s ? ? t1 x ?b ?
?
t1

当 0 < t < t1时,F (? ) ? ?m??s ? ?mb x
t

? mb ? ? b t sin p n t x r (t ) ? ? sin p n (t ? ? )d? ? 2 ( ? ) 0 mp p n t1 p n t1 n t1
当 t > t1时, F (? ) ? 0 x r (t ) ? ?0
?
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t1

t ? mb ? mb ? sin p n (t ? ? )d? ? ? sin p n (t ? ? )d? t1 mp mp n t1 n

sin p n (t ? t1 ) ? sin p n t ?b [1 ? ] 2 p n t1 pn


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