《空间向量及其运算》课件11(新人教A版选修2-1)

发布于:2021-07-28 05:31:14

新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-1

3.1.5《空间向量运算 的坐标表示》

教学目标
? ⒈掌握空间向量运算的坐标表示方法;
? ⒉掌握两个向量数量积的主要用途,会用 它解决立体几何中的一些简单问题.
? 教学重点:两个向量的数量积的计算方法 及其应用.
? 教学难点:两个向量数量积的几何意义. ? 授课类型:新授课. ? 课时安排:1课时.

一、向量的直角坐标运算
设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 )则 a ? b ? (a 1?b1,a2 ? b2 ,a3 ? b3 ) ;
a ? b ? (a1?b1,a2 ? b2 ,a3 ? b3 );
?a ? (?a1,?a2,?a3),(? ? R) ;
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;
a // b ? a1 ? ?b1,a2 ? ?b2 ,a3 ? ?b3(? ? R) ; ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;

二、距离与夹角
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式 | a |2? a ?a ? a12 ? a22 ? a32
| b |2 ? b ? b ? b12 ? b22 ? b32
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1)
?| AB |? AB AB ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ? (z2 ? z1)2
d A,B ? ( x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ? (z2 ? z1)2

2.两个向量夹角公式

cos ? a,b ?? a ? b ? | a |?| b |
注意:

a1b1 ? a2b2 ? a3b3

;

a12 ? a22 ? a32 ? b12 ? b22 ? b32

(1)当 cos ? a , b ?? 1 时,a 与 b 同向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1时,a 与 b 反向;

(3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。
思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0时,

的夹角在什么范围内?

练*一:
1.求下列两个向量的夹角的余弦:
(1) a ? (2 , ? 3 , 3) , b ? (1, 0 , 0) ; (2) a ? (?1, ?1,1) , b ? (?1, 0 ,1) ;
2.求下列两点间的距离:
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C(?3 ,1, 5) , D(0 , ? 2 , 3) .

三、应用举例

例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ,求:A (1)线段 AB 的中点坐标和长度;
解:设 M(x , y , z) 是 AB的中点,则

M
B

OM

?

1 2

(OA

?

OB)

?

1 2

??(3 ,

3

, 1)

?

?1 ,

0

,

5???

?

? ??

2

,

3 2

,

3

? ??

,

O

∴点 M的坐标是

? ??

2

,

3 2

,

3???

.

dA,B ? (1? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ?1)2 ? 29 .

(2)到 A 、B两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解:点P(x , y , z)到 A 、B 的距离相等,则
(x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? (z ?1)2 ? (x ?1)2 ? ( y ? 0)2 ? (z ? 5)2 ,
化简整理,得 4x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满 足的条件是 4x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

例2 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,B1E1 ?

?

D1F1

?

A1B1 4

,求

BE1



DF1 所成的角的余弦值。

z

解:设正方体的棱长为1,如图建

D1

F1

C1

立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

A1

E1 B1

B(1,1, 0)

,

E1 ???1,

3 4

, 1???

,

D
O
A
x

Cy

D(0 , 0 , 0)

,

F1

? ??

0

,

1 4

,1??? .

B

BE1

?

???1 ,

3 4

, 1???

?

(1 , 1 ,

0) ?

? ??

0

,

?

1 4

, 1???

,

例2 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,B1E1 ?

?

D1F1

?

A1B1 4

,求

BE1



DF1

所成的角的余弦值。

z

D1

F1

C1

DF1

????

0

,

1 4

,1????

(0

,

0

,

0)?

? ??

0

,

1 4

,1??? .

A1

E1 B1

BE1

DF1

?

0

?

0

?

? ??

?

1 4

? ??

?

1 4

?1?1

?

15 16

,

D
O
A
x

C

y | BE1 |?

17 4

, | DF1 |?

17 . 4 15

B

cos

?

BE1

,

DF1

??

|

BE1 BE1 |

?

DF1 | DF1

|

?

16 ? 15 . 17 ? 17 17 44

练*二:

正方体A1B1C1D1-ABCD,E、F分别是C1C

D1A1的中点,1)求 ? AB, EF ?

2)求点A到直线EF的距离。 D1

(用向量方法)

F A1

C1 B1

E

D A

C B

练*三:

如图:直三棱柱ABC ? A1B1C1, 底面?ABC中,

CA=CB=1,?BCA=90o,棱AA1=2,CM1 、

N分别为A1B1、AA1的中点, A1

B1 M

1)求BN的长;

N

2)求 cos ? BA1, CB1 ? 的值;

3)求证:A1B ? C1M。

A

C B

思考题:
已知A(0,2,3)、B(? 2,1,6), C(1,?1,5), 用向量 方法求?ABC的面积S。

四、课堂小结:
1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题 时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐 标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。

Homework:
? P107:1


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